Վեկտորներ

Վեկտորներ

Նկարում պատկերված են BV, MN, TA վեկտորները B , M , T կետերը այդվեկտորների սկզբնակետերն են , իսկ V , N , O կետերը` նրանց վերջնակետերը : Պայմանավորվել են , որ հարթության յուրաքանչյուրկետը (օրինակ` L-ը(նկարում)) դիտվում է որպես վեկտոր : Այդ դեպքում վեկտորը կոչվում է զրոյական : Ոչ զրոյական TA վեկտորիերկարություն կամ մոդուլ կոչվում է TA հատվածի երկարությունը : Համարվում է , որ զրոյական վեկտորի երկարությունը հավասար է 0-ի։

Ոչ զրոյական վեկտորները կոչվում են համագիծ երե նրանք գտնվում են կա‘մ նույն ուղղի կա‘մ զուգահեռ ուղիղների վրա։ Զրոյականվեկտորը համարվում է ցանկացած վեկտորին համագիծ։

Նկարում AM, VT PK վեկտորները համագիծ են, իսկ LZ, VT վեկտորները համագիծ չեն(ոչ համադիծ վեկտորներին անվանում են նաևտարագիծ վեկտորներ)։ Եթե երկու ` ոչ զրոյական վեկտորները համագիծ են , ապա նրանք կարող են լինել, կամ միանման հակադիր :Առաջին դեպքում վեկտորները կոչվում են համուղղված , իսկ երկրորդ դեպքում ` հակուղղված։ Եթե 2 վեկտորները համուղղված են ,ապա գրվում են այսպես ` PK ↑↑ AM , իսկ եթե հակուղղված են , այսպես ` AM ↑↓ VT : Ինչպես արդեն նշվել է, զրոյական վեկտորիսկիզբը համընկնում է նրա վերջին ,և, ուրեմն, զրոյական վեկտորը որոշակի ուղղություն չունի։ Այլ խոսքով` ցանկացած ուղղությունկարելի է համարել զրոյական վեկտորի ուղղություն : Հետրաբար զրոյական վեկտորին կհամարենք ցանկացած վեկտորին համուղղված։Այժմ սահմանենք «հավասար վեկտորներ» հասկացությունը :

Վեկտորի և թվի արտադրյալը

Ոչ զրոյական a վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն b վեկտորը , որի երկարությունը հավասար է |‎k|‎*|‎a |‎ , ընդ որում` a և b վեկտորները համուղղված են , եթե k≥0 , և հակուղղված են , եթե k<0 : Զրոյական վեկտորի և կամայական թվի արտադրյալըհամարվում է զրոյական վեկտոր :

1 Առաջադրանք: Բնական թվեր








Այն թվերը, որոնք օգտագործվում են առարկաներ հաշվելիս, անվանում են բնական թվեր: Ցանկացած բնական թիվ կարելի է գրել տասը թվանշանների միջոցով` 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: Թվերի այսպիսի գրառումն անվանում են տասնորդական: Թվանշանի արժեքը թվի այդպիսի գրառման մեջ կախված է այն բանից, թե ինչ տեղ է այն զբաղեցնեւմ: Եթե 4 թվանշանը գրված է վերջում, ապա այն նշանակում է չորս միավոր, եթե նախավերջում` չորս տասնյակ, եթե վերջից երրորդ տեղում` ապա չորս հարյուրյակ և այլն:

Գումարում.Օրինակ՝

50+50=100

75+70=145

100+300=400

Հանում.Օրինակ՝

40-20=20

601-501=100

900-200=700

Բազմապատկում.Օրինակ՝

5*5=25

9*5=45

9*6=48

Բաժանում.Օրինակ՝

100/5=20

81/9=9

63/7=9

Բացասական և ոչ ամբողջ թվերը բնական թվեր չեն կարող լինել։ Բոլոր բնական թվերի բազմությունը ընդունված է նշանակել -ով:  ={ 1, 2, 3, 4, . . . }

      Բնական թվերի բազմության մեջ գործողություններից երկուսի` գումարման և բազմապատկման արդյունքում ստացվում են նույն բազմությանը պատկանող թվեր։ Ի տարբերություն այդ երկու գործողությունների, հանման և բաժանման գործողությունները միշտ չէ, որ պատասխաններ ունեն բնական թվերի բազմության մեջ։

Բնական թվերի բազմությունը անվերջ է, քանի որ կգտնվի ցանկացած բնական թվից մեծ այլ, օրինակ՝ մեկով ավելի բնական թիվ։

Բնական թվերի բազմության մեջ են մտնում մի շարք ենթաբազմություններ, ինչպես օրինակ՝

• Զույգ թվեր, որոնք բաժանվում են 2-ի՝ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ....

• Կենտ թվեր, որոնք չեն բաժանվում 2-ի՝ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

• Պարզ թվեր, որոնք չունեն 1-ից ուրիշ բաժանարար՝ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

• Կատարյալ թվեր, որոնք հավասար են իրենցիսկ բաժանարարների գումարին՝ 6, 28, 496, 8128, ... (օրինակ՝ 28=1+2+4+7+14)

• Աքիլեսի թվեր, որոնք բաժանվում են իրենց բոլոր բաժանարարների քառակուսիների վրա՝ 72, 108, 200, 288, 392, ...

• Մերսենի թվեր` 22-1, 23-1, 25-1,..., 244197-1, 286243-1:
• Հարշադի թվեր, որոնք բաժանվում են իրենց թվանշանների գումարի վրա` 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27

2 Առաջադրանք: Իրական թվեր

Մաթեմատիկայում, իրական թիվը անընդհատ ուղղի վրա ներկայացվող արժեք է։
Իրական թվերի մեջ են մտնում բոլոր ռացիոնալ թվերը, ինչպես`

• −5-ը` ամբողջ թիվ,
• 4/3-ը` հասարակ կոտորակ,
• 8.6-ը` վերջավոր տասնորդական կոտորակ,
• √2=1.41421356` (երկուսի քառակուսի արմատը)` իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ,
• π=3.1415926535...` տրանսցենդենտ թիվ:

Իրական թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկար ուղիղ՝ թվային ուղիղ կամ իրական ուղիղի կետեր, որտեղ ամբողջ թվերին համապատասխան թվերը ինտերվալներ են։
Յուրաքանչյուր իրական թիվ կարող է որոշվել հնարավոր անվերջ տասնորդական ներկայացմամբ (π-ի նման ), որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշանը չափվում է նախորդից մեկ տասնորդականով տարբերվող միավորներով։
Իրական ուղիղը կարելի է պատկերացնել որպես կոմպլեքս կոմպլեքս հարթության մաս, և համապատասխանաբար, իրական թվերը մտնում են կոմպլեքս թվերի մեջ որպես մասնավոր դեպք։

3 Առաջադրանք: Լոգարիթմ

B թվի լոգարիթմ a հիմքով, որտեղ a>0, a≠1, կոչվում է այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնելa հիմքը b թիվը ստանալու համար:

Հետևյալ բանաձևի գրառումն է log_a b (կարդացվում է՝ լոգարիթմ a հիմքով b): Այս լոգարիթմը

a^x = b հավասարման արմատն է:

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Ցանկացած a>0, a≠1 հիմքի և կամայական b>0, c>0 թվերի համար

Log_a bc = log_a b + log_a c

Log_a  = log_a b – log_a c

Log_a b^m = mlog_a b        որտեղ m-ը կամայական թիվ է

Log_a b =              եթե c≠1

                                                 

4 Առաջադրանք : Եռանկյունաչափություն

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ - էլեմենտար ֆունկցիաներ են, որոնք պատմականորեն առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյունների ուսումնասիրման ժամանակ և արտահայտում են եռանկյան էջերի կախվածությունը սուր անկյուններից և ներքնաձիգից։ Այս ֆունկցիաները լայն տարածում են գտել գիտության ամենատարբեր բնագավառներում, ինչի արդյունքում ընդլայնվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը։ Այժմ արգումենտը կարող է լինել ինչպես կամայական իրական թիվ, այնպես էլ կոմպլեքս թիվ։

Գիտությունը, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, կոչվում է եռանկյունաչափություն։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների են ՝

ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

• սինուս ()
• կոսինուս ()

ածանցյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

• տանգես ()
• կոտանգես ()

այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

• սեկանս ()
• կոսեկանս ()

Եռանկյունաչափության լուծումները այստեղ՝

https://onedrive.live.com/redir?resid=1567163E914156E!502&authkey=!ADlIT0Uot0EIdSs&ithint=file%2c.docx

5 Առաջադրանք: Հավասարումներ

Հավասարումների լուծումները այստեղ՝

https://onedrive.live.com/redir?resid=1567163E914156E!504&authkey=!AJUoGVYMS-Vrj_4&ithint=file%2c.docx